Помогите с решением системы уравнений. Решение у меня есть, но я не уверен, что правильное. Пожалуйста, кто хорошо разбирается, проследите за ходом решения. Комментарий: Сразу ОДЗ x>0 y>0 Рассмотрим 1 неравенство. 1) (-1/2) перенесем в основание и станет log100(y), затем перейдем к десятичному логарифму и запишем lg(y^(1/2). 2) Под корнем 4 вносим в логарифм, так как он квадратный, 4 переходит в двойку и получается lg^2(x^2) 3) Между логарифмами плюсы, перемножаем и получаем: lg(x*y^1/2)>= (корень(lg^2(x^2*y)) )/2 Двойку переносим в левую часть, и вносим в логарифм, корень из десятичного логарифма это модуль десятичного логарифма. Получаем: lg(x^2*y)>=модуль(lg(x^2*y)) Вот здесь, я не совсем понимаю, что делать дальше, похоже на какое-то свойство, но в книжках я его не нашел. То ли заменять y иском из второго уравнения и решать, то, что наверно уже кто-то решил, то ли... На первый взгляд здесь будет множество решений, которое удовлетворяет второму уравнению. Если решить второе уравнение в целых числах, то получится: x=z y=5z-4, где z целое неотрицательное число. И получается, что это и есть решением всей системы. Все, как-то просто получается, при том, что мне сказали, что решение сложное...
Подождите, но lg^2(x^2*y) и lg(x*x*y)*lg(x*x*y) это же одно и тоже, разве нет? x:=4 y:=5 куда относится? Это подстановка не удовлетворяет второе уравнение.
x:=4 y:=5 - это случайные числа из ОДЗ, чтобы показать, что переход неверен. lg^2(x^2*y) и lg(x*x*y)*lg(x*x*y) - да, это одно и тоже. Я просто для наглядности так написал в маткад.
Проще 10;10 подставить) Да, действительно нельзя перемножать показатели, если логарифм в квадрате. Ну четверку, наверно все-таки нужно вносить. lg^2(x^2)+lg^2(y) как это упрощать пока непонятно. Хм... а может просто возвести в квадрат уже сейчас, возможно, что-нибудь получится... lg(x^2)+lgy>=корень(lg^2(x^2)+lg^2(y)) Возводим в квадрат, и после сокращения получается 2lg(x^2)lgy>=0 если не ошибся нигде... Двойку здесь можно отбросить? просто, если ее перекидывать скажем к логарифму y, боюсь что-то другое получится... Если заменяем y=5x-4, то получается, что решением первого неравенство получается x принадлежит [1;+беск)
Решение следующее: 1. Рассмотрим неравенство. ОДЗ: x>0, y>0 2. Cперва учтём, что 1/2*log_1/10(y) = -1/2*lg(y). 3. Тогда имеем 2*lg(x)+lg(y)>=sqrt(4*lg^2(x)+lg^2(y)). 4. Это есть A+B >= sqtr(A^2+B^2). Корень заведомо больше нуля, значит можно обе части возвести в квадрат. 5. Иммем A^2 + B^2 +2*A*B >= A^2 + B^2. Сокращаем. 6. Имеем A*B>=0. Преобразуем обратно. 7. lg(x)*lg(y)>=0. Рассмотрим варианты: 8. Вариант 1: x>=1, y>=1. Вариант 2: x<1, y<1. 9. Решаем вариант 1 с учётом ОДЗ: x>=1, y>=1, y=5x-4 => 5x-4>=1 => 5x>= 5 => x>=1 - выполняется при всех х >=1. Ответ: x принадлежит всем рациональным числам от 1 до бесконечности, включая единицу. y = 5x-4. 10. Решаем вариант 2 с учётом ОДЗ: 0<x<1, 0<y<1, y=5x-4 => 5x>4, 5x<5 => x>4/5, x<1, y=5x-4. Ответ: x принадлежит всем рациональным числам от 4/5 до 1, невключая границ. y = 5x-4. 11. Объединяем ответы: x = (4/5, inf), y=5x-4.